Phương pháp giải:

Viết phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số. Sau đó tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

PT hoành độ giao điểm là \(\left( 3m-1 \right)x+6m+3={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-\left( 3m-1 \right)x-6m-2=0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Giả sử \(A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\,\,B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\) và \(C\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}} \right)\) lần lượt là giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right).\)

Vì \(B\) cách đều hai điểm \(A,\,\,C\)\(\Rightarrow \) \(B\) là trung điểm của \(AC\Rightarrow \,\,{{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}}.\)

Mà theo định lí Viet cho phương trình \(\left( * \right),\) ta được \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=3\,\,\xrightarrow{{}}\,\,3{{x}_{2}}=3\Rightarrow {{x}_{2}}=1.\)

Thay \({{x}_{2}}=1\) vào \(\left( * \right),\) ta có \({{1}^{3}}-{{3.1}^{2}}-\left( 3m-1 \right)-6m-2=0\Leftrightarrow -\,9m-3=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{3}.\)

Thử lại, với \(m =  - \frac{1}{3}\) \( \Leftrightarrow \,\,{x^3} - 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\) (TM). Vậy \(m =  - \frac{1}{3}\).

Chọn A.