Phương pháp giải:

Điểm x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( {{x_0}} \right) = 0\\y''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

ĐK : x > 0

\(\begin{array}{l}y' = 2x.\ln x + {x^2}\frac{1}{x} = 2x\ln x + x = x\left( {2\ln x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \ln x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\\y'' = 2\ln x + 2x\frac{1}{x} + 1 = 2\ln x + 3\\ \Rightarrow y''\left( {{e^{ - \frac{1}{2}}}} \right) = 2\ln {e^{ - \frac{1}{2}}} + 3 =  - 1 + 3 = 2 > 0 \Rightarrow {y_{CT}} = y\left( {{e^{ - \frac{1}{2}}}} \right) = {\left( {{e^{ - \frac{1}{2}}}} \right)^2}\ln \left( {{e^{ - \frac{1}{2}}}} \right) =  - \frac{1}{2}.{e^{ - 1}} =  - \frac{1}{{2e}}\end{array}\)

Chọn B.