Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số, tìm điều kiện để phương trình hoàng độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐKXĐ.

+) Sử dụng định lí Vi-et suy ra tổng và tích của các nghiệm.

+) Tính độ dài đoạn thẳng \(AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right)}^{2}}}\)

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}x + m - 1 = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\,\,\left( {x \ne  - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + x\left( {1 + m - 1} \right) + m - 1 = 2x + 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 2} \right)x + m - 2 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để đường thẳng\(y=x+m-1\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x+1}\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \(x \ne  - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\{\left( { - 1} \right)^2} - m + 2 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m - 2 > 4\\m - 2 < 0\end{array} \right.\\1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\m < 2\end{array} \right.\)

Khi đó gọi \({{x}_{A}};{{x}_{B}}\) là 2 nghiệm của (*). Theo định lí Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} =  - m + 2\\{x_A}{x_B} = m - 2\end{array} \right.\) 

Ta có :

\(\begin{array}{l}A{B^2} = {\left( {{x_A} - {x_B}} \right)^2} + {\left( {{y_A} - {y_B}} \right)^2} = {\left( {{x_A} - {x_B}} \right)^2} + {\left( {{x_A} + m - 1 - {x_B} - m + 1} \right)^2}\\ = 2{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)^2} = 2\left[ {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 4{x_A}{x_B}} \right]\\ = 2\left[ {{{\left( { - m + 2} \right)}^2} - 4\left( {m - 2} \right)} \right] = 2\left( {{m^2} - 8m + 12} \right) = 12 \Leftrightarrow m = 4 \pm \sqrt {10} \,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Chọn D.