Phương pháp giải:

Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình nón chính là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của thiết diện qua trục của hình nón.

Sử dụng công thức thể tích khối cầu \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\).

Lời giải chi tiết:

Vì thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều \(SAB\) nên tâm mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp của hình nón trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác \(SAB\) hay chính là trọng tâm I của tam giác \(SAB\).

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là \(R=SI=\frac{2}{3}SH\)

Bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón là \(r=IH=\frac{1}{3}SH=\frac{1}{2}R\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}}{\frac{4}{3}\pi .{{r}^{3}}}={{2}^{3}}=8\).

Chọn C.