Phương pháp giải:

+) Tính \({y}'\), giải phương trình \({y}'=0\) sau đó chọn các nghiệm \({{x}_{i}}\in \left[ 0;2018 \right]\).

+) \(\underset{\left[ 0;2018 \right]}{\mathop{\min }}\,y=\min \left\{ y\left( 0 \right);y\left( {{x}_{i}} \right);y\left( 2018 \right) \right\}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = {x^2} + 4x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;2018} \right]\\x =  - 5 \notin \left[ {0;2018} \right]\end{array} \right.\)

Lại có \(y\left( 1 \right)=\frac{-5}{3}<y\left( 0 \right)=1<y\left( 2018 \right)=2747451170\) nên \(\underset{\left[ 0;2018 \right]}{\mathop{\min }}\,y=\min \left\{ y\left( 0 \right);y\left( 1 \right);y\left( 2018 \right) \right\}=-\frac{5}{3}\).

Chọn C.