Phương pháp giải:

Gọi I là trung điểm của SA, sử dụng tính chất trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền để suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của SA.

Vì tam giác SAB vuông tại B nên IA = IB = IS

Vì tam giác SAC vuông tại C nên IA = IS = IC.

Do đó IA = IB = IC = IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Gọi D là trung điểm của BC ta có D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC $\Rightarrow ID\bot \left( ABC \right)$

$\begin{align}  & \Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=2{{V}_{I.ABC}}=\frac{2}{3}ID.{{S}_{ABC}}\Rightarrow ID=\frac{3{{V}_{S.ABC}}}{2{{S}_{ABC}}}=\frac{2{{a}^{3}}}{2{{a}^{2}}}=a \\  & AD=\frac{1}{2}BC=\frac{a\sqrt{5}}{2} \\  & \Rightarrow AI=\sqrt{A{{D}^{2}}+I{{D}^{2}}}=\frac{3a}{2}=R \\ \end{align}$

Chọn D.