Phương pháp giải:

- Xét đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\,\,(C)\)có tâm đối xứng \(I\left( -\frac{d}{c};\frac{a}{c} \right)\).

Lấy \(M\in (C)\).

Tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm M cắt hai đường tiệm cận của (C) tại hai điểm phân biệt A, B.  Khi đó, dễ dàng chứng minh được:      

\({{S}_{ABI}}=const\) và M  là trung điểm của AB.

Lời giải chi tiết:

Gọi độ dài đoạn thẳng IA, IB lần lượt là a, b.

Kẻ \(IH\bot AB,\,H\in AB\).

Tam giác IAB vuông tại I, \(IH\bot AB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{I{H^2}}} = \frac{1}{{I{A^2}}} + \frac{1}{{I{B^2}}} \Leftrightarrow I{H^2} = \frac{{I{A^2}.I{B^2}}}{{I{A^2} + I{B^2}}}\\\mathop  \le \limits^{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} i} \frac{{I{A^2}.I{B^2}}}{{2IA.IB}} = \frac{{IA.IB}}{2} = {S_{IAB}} = const\end{array}\)

\(\Rightarrow I{{H}_{\max }}=\sqrt{{{S}_{IAB}}}\) khi và chỉ khi \(IA=IB\).

Khi đó, tam giác IAB vuông cân tại I, M trùng H.

\(\Rightarrow \)Ta tìm M bằng cách tìm giao điểm của đường thẳng IM với đồ thị (C).

 *) Viết phương trình đường thẳng IM:

Ta có: \(y=\frac{x-1}{2x-3}\Rightarrow y'=\frac{-1}{{{(2x-3)}^{2}}}<0,\,\,\forall x\ne \frac{3}{2}\): Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;\frac{3}{2} \right),\,\,\left( \frac{3}{2};+\infty  \right)\).

( Đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ bên).

Đường thẳng IM là đường thẳng đi qua điểm \(I\left( \frac{3}{2};\frac{1}{2} \right)\) song song với phân giác của góc phần tư thứ nhất : \(y=x\), có phương trình là: \(y=x-1\).

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình :

       \(\left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\y = \frac{{x - 1}}{{2x - 3}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\x - 1 = \frac{{x - 1}}{{2x - 3}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\(x - 1)(2x - 3 - 1) = 0,\,\,x \ne \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

 Vậy \(M\left( 1;0 \right)\) hoặc \(M\left( 2;1 \right)\).

*) Khoảng cách từ I đến đường tiếp tuyến của (C) tại M :

    \(IH=IM=\sqrt{{{\left( 1-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( 0-\frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( 1-\frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Chọn: A.