Phương pháp giải:

+) Từ giả thiết \(\left| z-4-3i \right|=\sqrt{5}\)  tìm quỹ tích điểm M.

+) Với \(A\left( -\,1;3 \right),\,\,B\left( 1;-\,1 \right).\) ta có \(\left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right|=MA+MB\), tìm GTLN của MA + MB, sử dunggj BĐT \({{Q}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+2MA.MB\le 2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)\)

+) Gọi E là trung điểm của \(AB\)\(\Rightarrow \,\,M{{E}^{2}}=\frac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}.\Rightarrow {{P}^{2}}\le 4.M{{I}^{2}}+A{{B}^{2}}\)

+) Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra và suy ra a, b.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( x;y \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z\)

Từ giả thiết, ta có \(\left| z-4-3i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=5\) suy ra \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( 4;3 \right),\) bán kính \(R=\sqrt{5}.\) Khi đó \(P=MA+MB,\) với \(A\left( -\,1;3 \right),\,\,B\left( 1;-\,1 \right).\)

Ta có \({{P}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+2MA.MB\le 2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)\)

Gọi \(E\left( 0;1 \right)\) là trung điểm của \(AB\)\(\Rightarrow \,\,M{{E}^{2}}=\frac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}.\)

Do đó \({{P}^{2}}\le 4.M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}\) mà \(ME\le CE=3\sqrt{5}\) suy ra \({{P}^{2}}\le 4.{{\left( 3\sqrt{5} \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}=200.\)

Với \(C\) là giao điểm của đường thẳng \(EI\) với đường tròn \(\left( C \right).\)

Vậy \(P\le 10\sqrt{2}.\) Dấu \(''\,\,=\,\,''\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align}  & MA=MB \\& M\,\,\equiv \,\,C \\\end{align} \right.\Rightarrow M\left( 6;4 \right)\Rightarrow \,\,a+b=10.\)

Chọn A.