Phương pháp giải:

Hàm số đồng biến trên R \(\Leftrightarrow y'\ge 0\,\,\forall x\in R,\) và \(y'=0\) tại hữu hạn điểm.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y=\frac{x-1}{3x+2}\) có \(y'=\frac{5}{{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}}>0\,\,\forall x\in R\backslash \left\{ -\frac{2}{3} \right\}\Rightarrow \) hàm số không đồng biến trên R.

Hàm số \(y={{5}^{x}}\) có \(y'={{5}^{x}}\ln 5>0\,\,\forall x\in R\Rightarrow \)  Hàm số đồng biến trên R.

Hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x-1\) có \(y'=3{{x}^{2}}+6x+3=3{{\left( x+1 \right)}^{2}}\ge 0\,\,\forall x\in R\Rightarrow \) hàm số đồng biến trên R.

Hàm số \(y=\tan x+x\) có \(y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+1>0\,\,\forall x\in R\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,\,\,k\in Z \right\}\Rightarrow \) hàm số không đồng biến trên R.

Vậy có 2 hàm số đồng biến trên R.

Chọn A.