Câu hỏi
Biết điểm \(M\left( 0;4 \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+{{a}^{2}}\). Tính \(f\left( 3 \right)\)
- A \(f\left( 3 \right)=14\)
- B \(f\left( 3 \right)=49\)
- C \(f\left( 3 \right)=34\)
- D \(f\left( 3 \right)=13\)
Phương pháp giải:
Điểm \(x={{x}_{0}}\) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & f'\left( {{x}_{0}} \right)=0 \\ & f''\left( {{x}_{0}} \right)<0 \\ \end{align} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Có \(f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2ax+b;\,\,f''\left( x \right)=6x+2a\)
Điểm \(M\left( 0;4 \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f'\left( 0 \right) = 0\\
f''\left( 0 \right) < 0\\
f\left( 0 \right) = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 0\\
2a < 0\\
{a^2} = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 0\\
a < 0\\
a = \pm 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 0\\
a = - 2
\end{array} \right..\)
\(\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+4\Rightarrow f\left( 3 \right)=13.\)
Chọn D.