Câu hỏi
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\sqrt{5-m\sin x-\left( m+1 \right)\cos x}\) xác định trên R?
- A 6
- B 8
- C 7
- D 5
Phương pháp giải:
+) Hàm số xác định \(\Leftrightarrow 5-m\sin x-\left( m+1 \right)\cos x\ge 0.\)
+) Chuyển vế đưa bất phương trình về dạng \(g\left( x \right)\le 5.\)
+) Khi đó để hàm số xác định thì \(Max\ g\left( x \right)\le 5\)
+) Ta tìm điều kiện của m để \(Max\ g\left( x \right)\le 5\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định \(\Leftrightarrow 5-m\sin x-\left( m+1 \right)\cos x\ge 0\Leftrightarrow m\sin x+\left( m+1 \right)\cos x\le 5\,\,\,\forall x\in R\)
\(\Leftrightarrow \frac{m}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\sin x+\frac{m+1}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\cos x\le \frac{5}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\,\,\forall x\in R\)
Đặt \(\frac{m}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}=\cos \alpha ;\,\,\frac{m}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}=\sin \alpha \), khi đó bất phương trình trở thành
\(\begin{align} & \Leftrightarrow \sin x.\cos \alpha +\cos x.\sin \alpha \le \frac{5}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\,\,\,\,\forall x\in R \\ & \Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha \right)\le \frac{5}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\,\,\forall x\in R \\ & \Leftrightarrow \frac{5}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\ge 1 \\ & \Leftrightarrow 5\ge \sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1} \\ & \Leftrightarrow 2{{m}^{2}+2m}+1\le 25 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}+m-12}\le 0 \\ & \Leftrightarrow -4\le m\le 3 \\ \end{align}\)
\(\Rightarrow \) Có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện trên.
Chọn B.