Câu hỏi
Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính bằng 2 và mặt phẳng (P). Khoảng cách từ O đến (P) bằng 4. Từ điểm M thay đổi trên (P) kẻ các tiếp tuyến MA, MB, MC tới (S) với A, B, C là các tiếp điểm. Biết mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm I cố định. Tính độ dài OI.
- A \(\sqrt{3}\)
- B \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
- C \(\frac{1}{2}\)
- D \(1\)
Phương pháp giải:
+) Dự đoán điểm cố định.
+) Dựa vào các yếu tố cố định và không đổi có trong đề bài chứng minh dự đoán trên là đúng.
Lời giải chi tiết:
A, B, C là các tiếp điểm nên tam giác ABC nội tiếp một đường tròn nhỏ của hình cầu. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử AB là đường kính của đường tròn đó.
Gọi H là hình chiếu của O trên (P), \(I=OH\cap AB\)
Dễ thấy AOHM là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 900)
\(\Rightarrow \widehat{OHA}=\widehat{OMA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OA)
Mà \(\widehat{OMA}=\widehat{BAO}\) (cùng phụ với \(\widehat{OAB}\))
\(\Rightarrow \widehat{OHA}=\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\Rightarrow \) Tứ giác OAHB nội tiếp.
\(\Rightarrow \widehat{OHB}=\widehat{OAB}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung OB), mà
\(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\Rightarrow \widehat{OHB}=\widehat{OBA}\Rightarrow \Delta OIB\backsim \Delta OBH\Rightarrow \frac{OI}{OB}=\frac{OB}{OH}\Rightarrow OI=\frac{O{{B}^{2}}}{OH}\)
Do OB, OH không đổi \(\Rightarrow OI\) không đổi, mà O cố định, OH cố định \(\Rightarrow I\) cố định. Vậy (ABC) luôn đi qua điểm I cố định và \(OI=\frac{O{{B}^{2}}}{OH}=\frac{{{2}^{2}}}{4}=1\)
Chọn D.
Câu hỏi trước
