Phương pháp giải:

Hàm số \(y=f(x)\)  liên tục tại \(x={{x}_{0}}\)   khi và chỉ khi \(\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})\)  .

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(f(x)=\left\{ \begin{align}& \frac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2}\,\,\,khi\,\,x\ne 2 \\ & m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x=2 \\ \end{align} \right.\) , ta có:

\(\begin{align}& \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+1)(x-2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,(x+1)=3 \\ & f(2)=m \\ \end{align}\)

Để hàm số đã liên tục tại \(x=2\) thì \(\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(2)\Leftrightarrow 3=m\)  .

Vậy \(m=3.\)

Chọn: D.