Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(x=a\tan t\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(x=a\tan t\Leftrightarrow dx=a\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=a\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)dt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow t = 0\\x = a \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\) , khi đó \(\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{a\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)dt}{{{a}^{2}}{{\tan }^{2}}t+{{a}^{2}}}}=\frac{1}{a}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{dt}=\frac{\pi }{4a}\)

Chọn A.