Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(x=a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu \(\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty .\)

+) Đường thẳng \(y=b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nếu \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b.\)

+) Sử dụng các quy tắc tính giới hạn của hàm số để tìm số đường TCN của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

 ĐK: \(x\ge 1.\) Ta có: \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\sqrt{x-1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}}}{\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}=1.\) Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang \(y=1\).

Chọn B.