Phương pháp giải:

Đạo hàm của hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(x={{x}_{0}}\) là \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\) (nếu tồn tại).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 3 - 5}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 2}}{{x - 1}} = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}   =  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\frac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}} - 5}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^3} + 2{x^2} - 12x + 9}}{({x - 1})^2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 3x - 9} \right)}}{({x - 1})^2}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{ {{x^2} + 3x - 9} }\over{x-1} }=  +\infty.\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\end{array}\)

Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại x = 1.

Chọn D.