Lời giải chi tiết:

\(M\in (C)\Rightarrow M(m;\,\,{{m}^{2}}+2m+1)\)Mt // Oy \(\Rightarrow Mt:\,\,\,x=m\)

\(y={{x}^{2}}+2x+1\Rightarrow y'=2x+2\)

Tiếp tuyến d của (C) tại M có hệ số góc : \(y'(m)=2m+2\)

Giả sử Mz có hệ số góc là k. Suy ra, Mz, Mt, d có 1 VTPT lần lượt là: \(\left( k;-1 \right);\,\,\left( 1;0 \right);\,\,\left( 2m+2;-1 \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\widehat {Mt,d}} \right) = \cos \left( {\widehat {Mz,d}} \right) \Leftrightarrow \frac{{1.(2m + 2) + 0.( - 1)}}{{\sqrt {{{(2m + 2)}^2} + 1} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \frac{{k.(2m + 2) + 1}}{{\sqrt {{k^2} + 1} .\sqrt {{{(2m + 2)}^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow 2m + 2 = \frac{{k(2m + 2) + 1}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} \Leftrightarrow {(2m + 2)^2}({k^2} + 1) = {\left[ {k.(2m + 2) + 1} \right]^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(2m + 2)^2}({k^2} + 1) = {(2m + 2)^2}{k^2} + 2(2m + 2)k + 1\\ \Leftrightarrow {(2m + 2)^2} - 1 = 2(2m + 2)k\\ \Leftrightarrow k = \frac{{{{(2m + 2)}^2} - 1}}{{4m + 4}} = \frac{{4{m^2} + 8m + 3}}{{4m + 4}}\left( {m \ne  - 1} \right)\end{array}\)

 Khi đó, phương trình đường thẳng Mz:

                                    \(y=\frac{4{{m}^{2}}+8m+3}{4m+4}.(x-m)+{{m}^{2}}+2m+1\)

Gọi \({{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}})\)là điểm cố định của Mz:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y_0} = \frac{{4{m^2} + 8m + 3}}{{4m + 4}}.({x_0} - m) + {m^2} + 2m + 1\\ \Leftrightarrow \left( {4{m^2} + 8m + 3} \right)({x_0} - m) + (4m + 4)({m^2} + 2m + 1) - (4m + 4){y_0} = 0,\,\,\forall m \ne  - 1\\ \Leftrightarrow 4{m^2}{x_0} - 4{m^3} + 8m{x_0} - 8{m^2} + 3{x_0} - 3m + 4({m^3} + 3{m^2} + 3m + 1) - 4m{y_0} - 4{y_0} = 0,\forall m \ne  - 1\\ \Leftrightarrow {m^2}(4{x_0} - 8 + 12) + m(8{x_0} - 3 + 12 - 4{y_0}) + 3{x_0} - 4{y_0} + 4 = 0,\forall m \ne  - 1\\ \Leftrightarrow {m^2}(4{x_0} + 4) + m(8{x_0} + 9 - 4{y_0}) + 3{x_0} - 4{y_0} + 4 = 0,\forall m \ne  - 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x_0} + 4 = 0\\8{x_0} + 9 - 4{y_0} = 0\\3{x_0} - 4{y_0} + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1\\{y_0} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \({{M}_{0}}\left( -1;\frac{1}{4} \right).\)

Chọn: A.