Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ đỉnh \(S\) xuống mặt phẳng (ABC).

Vì S.ABC là hình chóp đều có SA = SB = SC nên suy ra H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi M là trung điểm của BC, ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).

Khi đó

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SM \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SM;AM} \right)} = \widehat {SMA} = {60^0}\).

Tam giác ABC đều cạnh a có \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow HM=\frac{AM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\)

Tam giác \(SHM\) vuông tại \(H\), có \(SH=\tan {{60}^{0}}.\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{a}{2}.\)

Vậy độ dài đường cao \(SH=\frac{a}{2}.\)

Chọn C.