Phương pháp giải:

+) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng cách lấy y chia y’ và lấy phần dư.

+) Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn \(\left( I;R \right)\Leftrightarrow d\left( I;d \right)=R.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(y'=-3{{x}^{2}}-6x\). Ta có : \(y=y'.\left( \frac{1}{3}x+\frac{1}{3} \right)+2x+4\)

Gọi A, B là các điểm cực trị của hàm số thì \(y'\left( {{x}_{A}} \right)=y'\left( {{x}_{B}} \right)=0\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & y\left( {{x}_{A}} \right)=2{{x}_{A}}+4 \\  & y\left( {{x}_{B}} \right)=2{{x}_{B}}+4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \) đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B có phương trình \(y=2x+4\Leftrightarrow 2x-y+4=0\,\,\,\left( d \right)\)

Để (d) tiếp xúc với đường tròn (C) tâm \(I\left( m;m+1 \right)\) , bán kính \(R=\sqrt{5}\) thì \(\left( I;R \right)\Leftrightarrow d\left( I;d \right)=R.\)

\(\Leftrightarrow \frac{\left| 2m-m-1+4 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| m+3 \right|=5\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{m}_{1}}=2 \\ & {{m}_{2}}=-8 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow {{m}_{1}}+{{m}_{2}}=-6\)

Chọn C.