Phương pháp giải:

+) Tìm tập xác định của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

+) Khi \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=a\Rightarrow y=a\) là TCN của đồ thị hàm số; \(\underset{x\to b}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty \Rightarrow x=b\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

+) Tìm các giao điểm của các đường tiệm cận với các trục tọa độ.

+) Tính diện tích hình chữ nhật được tạo thành theo m.

+) Từ dữ liệu bài toán tìm m.

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(x\ne m.\)

Ta có: \(2x+1=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}.\)

Hàm số có TCĐ \(x=m\Leftrightarrow m\ne -\frac{1}{2}.\)

Hàm số có tiệm cận đứng là: \(x=m\) và tiệm cận ngang \(y=2.\)

Gọi A là giao điểm của TCĐ với trục hoành \(\Rightarrow A\left( m;\,\,0 \right).\)

Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận \(\Rightarrow I\left( m;\,\,2 \right).\)

Gọi B là giao điểm của TCN với trục tung \(\Rightarrow B\left( 0;\,\,2 \right).\)

Khi đó ta có hình chữ nhật OAIB và \({{S}_{OAIB}}=2.\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow OA.OB=2 \\  & \Leftrightarrow 2.\left| m \right|=2 \\  & \Leftrightarrow m=\pm 1\,\,\,\left( tm \right). \\ \end{align}\)

Chọn B.