Phương pháp giải:

- Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(AB\) và \(SD\).

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(E\) là trung điểm của \(SD\).

Tam giác \(SAD\) vuông cân tại \(A\) nên \(AE\bot SD\)  (1).

Ta có: \(SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow AB\bot SA\)

Mà \(AB\bot AD\) nên \(AB\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AB\bot AE\)  (2).

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \(AE\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(AB\) và \(SD\).

Xét tam giác \(SAD\) vuông cân tại \(A\) có:

\(SD=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=2a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow AE=\frac{1}{2}SD=\frac{1}{2}.2a\sqrt{2}=a\sqrt{2}\)

Chọn A.