Phương pháp giải:

+) Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc SCA.

+) Trong mp(SAC) kẻ \(AH\bot SO\Rightarrow \)chứng minh \(d\left( A;\left( SBD \right) \right)=AH\)

Lời giải chi tiết:

AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) \(\Rightarrow \widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC;AC \right)}=\widehat{SCA}={{45}^{0}}\Rightarrow \Delta SAC\)vuông cân tại A \(\Rightarrow SA=AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}\)

Gọi \(O=AC\cap BD\). trong mặt phẳng (SAC) kẻ \(AH\bot SO\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AH\)

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BD\\AH \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AH\)

Ta có \(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{O}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}=\frac{1}{2{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{5}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{10}}{5}\)

Chọn A.