Phương pháp giải:

Xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  (P):

+) Xác định hình chiếu d’ của d trên (P).

+) Góc giữa d và (P) là góc giữa d và d’

Lời giải chi tiết:

Vì $\left( SAB \right),\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với đáy nên giao tuyến của chúng $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot BC$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow CB \bot \left( {SAB} \right)$ tại $B$ nên hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $\left( SBC \right)$ là $SB$.

Do đó góc giữa $SC$ và $\left( SBC \right)$ là góc giữa $SC$ và $SB$ hay góc $\widehat{BSC}=\alpha$.

$\Delta SBC$  vuông tại $B$ nên $\tan \alpha =\frac{BC}{SB}$.

$\Delta SAB$ vuông tại $A$, theo Pytago ta có $SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$.

$\tan \alpha =\frac{BC}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Chọn A.