Phương pháp giải:

+) Tính \({y}'\).

+) Tìm tọa độ tiếp điểm \(M\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\).

+) Viết phương trình tiếp tuyến tại \(M\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\) có dạng \(y={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \({y}'=\frac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}},\,\left( x\ne -2 \right)\).

Hoành độ tiếp điểm \(M\) là nghiệm của phương trình \(\frac{x-1}{x+2}=0\) \(\Leftrightarrow x=1\) \(\Rightarrow M\left( 1;0 \right)\).

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\) có dạng  \(y={y}'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)+0\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\).

Chọn A.