Phương pháp giải:

- Tìm tập giá trị của \(\sin x\) với \(x\in \left[ -\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6} \right]\).

- Tìm tập giá trị của hàm số \(y=\frac{12}{7-4\sin x}\) trên đoạn vừa tìm được ở trên.

Lời giải chi tiết:

Vì \(x\in \left[ -\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6} \right]\) nên \(\sin x\in \left[ -\frac{1}{2};1 \right]\).

Do đó \(-2\le 4\sin x\le 4\Rightarrow -4\le -4\sin x\le 2\Rightarrow 3\le 7-4\sin x\le 9\Rightarrow \frac{12}{3}\ge \frac{12}{7-4\sin x}\ge \frac{12}{9}\Rightarrow \frac{4}{3}\le y\le 4\)

\(\begin{align} & y=\frac{4}{3}\Rightarrow \sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2} \\  & y=4\Rightarrow \sin x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{6} \\ \end{align}\)

Vậy \(M=4;m=\frac{4}{3}\).

Chọn D.