Phương pháp giải:

Lập hàm số tổng diện tích các hình vuông nhờ công thức tổng của cấp số nhân \({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

Sử dụng MTCT tính \(\lim {S_n}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \({S_1}\) là diện tích hình vuông cạnh 1 ban đầu ta có \({S_1} = {1^2}\)

Sau khi nối các trung điểm của hình vuông ban đầu với nhau ta được hình vuông mới có cạnh \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow {S_2} = {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{2}\)

Tương tự như vậy ta có \({S_3} = {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = {\left( {{{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}\)

\({S_4} = {\left( {{{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3};\,\,\,....\,\,;\,\,\,{S_n} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\) 

Ta có tổng diện tích các hình vuông là tổng của 1 CSC có \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} = \dfrac{{1\left( {1 - {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}} \right)}}{{1 - \dfrac{1}{2}}}\), ta tính giới hạn \(\lim \dfrac{{1\left( {1 - {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}} \right)}}{{1 - \dfrac{1}{2}}}\)  khi \(n \to  + \infty \)

Nhập vào MTCT, ấn phím [CALC], chọn \(x = {10^{10}}\)  ta được kết quả

Chọn B.