Phương pháp giải:

Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy, dự đoãn công thức số hạng tổng quát.

Chứng minh số hạng tổng quát vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Sử dụng MTCT để tính \(\lim {u_n}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}
{u_1} = 1 = {1^2}\\
{u_2} = 1 + 2 + 1 = 4 = {2^2}\\
{u_3} = 4 + 4 + 1 = 9 = {3^2}\\
{u_4} = 9 + 6 + 1 = 16 = {4^2}
\end{array}\)

Dự đoán \({u_n} = {n^2}\,\left( * \right)\,\,\forall n \ge 1\), ta chứng minh (*) đúng \(\forall n \ge 1\) bằng phương pháp quy nạp.

Hiển nhiên (*) đúng với n = 1.

Giả sử (*) đúng đến n = k > 1, tức là \({u_k} = {k^2}\), ta chứng minh \({u_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^2}\)

Theo giả thiết ta có \({u_{k + 1}} = {u_k} + 2k + 1 = {k^2} + 2k + 1 = {\left( {k + 1} \right)^2}\)

Vậy (*) đúng \(\forall n \ge 1\), tức là \({u_n} = {n^2}\,\,\forall n \ge 1\).

Nhập vào MTCT, nhấn [CALC], chọn \(x = {10^{10}}\) ta được kết quả \( \Rightarrow \lim {u_n} = \lim {n^2} =  + \infty \)

Chọn C.