Phương pháp giải:

+) Gọi k là hệ số góc của đường thẳng AB (k > 0), phương trình AB có dạng \(y = k\left( {x - 2} \right) - 1 \Leftrightarrow kx - y - 2k - 1 = 0\)

+) AB hợp với BD một góc 45⁰ nên \(\cos {45^0} = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{AB}};{{\overrightarrow n }_{BD}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{AB}}.{{\overrightarrow n }_{BD}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{AB}}} \right|\left| {.{{\overrightarrow n }_{BD}}} \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng AB (k > 0), phương trình AB có dạng \(y = k\left( {x - 2} \right) - 1 \Leftrightarrow kx - y - 2k - 1 = 0\)

Ta có AB hợp với BD một góc 45⁰ nên

\(\begin{array}{l}\cos {45^0} = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{AB}};{{\overrightarrow n }_{BD}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {k.1 - 1.2} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} .\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\Leftrightarrow 2{\left( {k - 2} \right)^2} = 5\left( {{k^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 3{k^2} + 8k - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\k =  - 3\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow pt\left( {AB} \right):y = \frac{1}{3}\left( {x - 2} \right) - 1 = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3} \Rightarrow x - 3y - 5 = 0\end{array}\)

Chọn B.