Phương pháp giải:

Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Bước 1: Xác định trục d của đáy (đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).

Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một mặt bên.

Bước 3: Xác định giao điểm của d và (P), khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của BC ta có H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (do tam giác ABC vuông cân tại A)

Qua H kẻ đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại H \(\Rightarrow d//SA\)

Gọi J là trung điểm của SA. Trong mp(d;SA) kẻ IJ // AH \(\Rightarrow IJ\bot SA\,\,\left( I\in d \right)\).

\(I\in d\Rightarrow IA=IB=IC\), I thuộc trung trục của SA \(\Rightarrow IS=IA\)

\(\Rightarrow IA=IB=IC=IS\Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

Xét tam giác vuông cân ABC ta có \(BC=AB\sqrt{2}=2a\Rightarrow AH=\frac{1}{2}BC=a\)

\(IH=JA=\frac{1}{2}SA=a\Rightarrow IA=\sqrt{I{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=a\sqrt{2}=R\)

Chọn C.