Phương pháp giải:

+) Thiết diện qua trục của hình nón luôn là tam giác cân tại đỉnh của hình nón.

+) Theo đề bài ta có thiết diện là tam giác vuông cân \(\Rightarrow \) đường kính đáy = cạnh huyền của thiết diện.

+) Công thức tính thể tích của hình nón: \(V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h.\)

+) Áp dụng định lý Pi-ta-go để tính chiều cao của hình nón: \(h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(2R=2\sqrt{3}\Rightarrow R=\sqrt{3}.\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác SAB vuông cân tại S có:

\(2{{l}^{2}}={{\left( 2R \right)}^{2}}\Leftrightarrow l=R\sqrt{2}=\sqrt{6}.\)

Áp dụng đính lý Pi-ta-go cho tam giác SAO vuông tại O ta có:

\(\begin{align}  & h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{6-3}=\sqrt{3}. \\  & \Rightarrow V=\frac{1}{3}.\pi {{R}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi .{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}.\sqrt{3}=\pi \sqrt{3}. \\ \end{align}\)

Chọn A.