Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy dựa vào định nghĩa: “Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng”.

- Tính bán kính hình tròn nội tiếp đa giác đáy và độ dài đường sinh.

- Diện tích xung quanh hình nón được tính bởi công thức \({{S}_{xq}}=\pi rl\).

Lời giải chi tiết:

Hình chóp \(S.ABCD\) đều nên \(SH\) là đường cao (\(H\) là giao điểm hai đường chéo của hình vuông \(ABCD\))

Do đó \(\left( \widehat{SB,\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SBH}={{45}^{0}}\Rightarrow SH=HB=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Đường tròn đáy của hình nón chính là đường tròn nội tiếp hình vuông \(ABCD\) có bán kính \(r=HE=\frac{a}{2}\).

Độ dài đường sinh \(l=SE=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Vậy diện tích xung quanh \({{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\)

Chọn D