Phương pháp giải:

Tính độ dài các đoạn thẳng MN và MQ sau đó áp dụng công thức tình thể tích hình trụ \(V=\pi {{r}^{2}}h\) .

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Độ dài cung AB là chu vi đường tròn đáy nên \({{l}_{\overset\frown{AB}}}=2\pi .r=2\pi \frac{2}{3}=\frac{4\pi }{3}\)

Ta có độ dài cung AB là \({{l}_{\overset\frown{AB}}}=\alpha .OA\Rightarrow \alpha =\frac{{{l}_{\overset\frown{AB}}}}{OA}=\frac{\frac{4\pi }{3}}{2}=\frac{2\pi }{3}=\widehat{AOB}\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác OAB có \(\begin{align}  & AB=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-2OA.OB.\cos \frac{2\pi }{3}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}-{{2.2}^{2}}\left( -\frac{1}{2} \right)}=2\sqrt{3} \\  & MN=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}=PQ\Rightarrow MH=\frac{1}{2}MN=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{align}\)

Hạ \(OD\bot MN\) ta có OD là tia phân giác của \(\widehat{AOB}\Rightarrow \widehat{AOD}={{60}^{0}}\), OD cắt AQ tại E.

Xét tam giác vuông OMH có \(OH=OM.\cos 60=1.\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

Xét tam giác OPQ có \(\cos \widehat{POQ}=\frac{O{{P}^{2}}+O{{Q}^{2}}-P{{Q}^{2}}}{2.OP.OQ}=\frac{4+4-3}{2.2.2}=\frac{5}{8}\)

Mà \(\cos \widehat{POQ}=\cos \left( 2\widehat{DOQ} \right)=2{{\cos }^{2}}\widehat{DOQ}-1=\frac{5}{8}\Leftrightarrow \cos \widehat{DOQ}=\frac{\sqrt{13}}{4}\)

Xét tam giác DOQ có \(Q{{D}^{2}}=O{{Q}^{2}}+O{{D}^{2}}-2OQ.OD\cos \widehat{DOQ}=4+4-2.2.2.\frac{\sqrt{13}}{4}=8-2\sqrt{13}\)

Xét tam giác vuông DQF có : \(D{{F}^{2}}=Q{{D}^{2}}-Q{{F}^{2}}=8-2\sqrt{13}-\frac{3}{4}=\frac{29}{4}-2\sqrt{13}\Leftrightarrow DF=\frac{\sqrt{29-8\sqrt{13}}}{2}=\frac{\sqrt{16-2.4.\sqrt{13}+13}}{2}=\frac{4-\sqrt{13}}{2}\)

\(\Rightarrow HF=OD-OH-DF=2-\frac{1}{2}-\frac{4-\sqrt{13}}{2}=\frac{4-1-4+\sqrt{13}}{2}=\frac{\sqrt{13}-1}{2}=MQ\)

Khi đó thể tích khối trụ tạo ra bởi hình chữ nhật MNPQ là

\(V=\pi .M{{H}^{2}}.MQ=\pi .{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}.\frac{\sqrt{13}-1}{2}=\frac{3\pi \left( \sqrt{13}-1 \right)}{8}\).

Chọn A.