Phương pháp giải:

Quy tác tìm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\)  ta có 2 quy tắc sau:

Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2:

Bước 1: Tìm f’(x)

Bước 2: Giải phương trình f’(x) = 0 tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}....\)  và những điểm tại đó đạo hàm không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên xét dấu của f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua điểm \({x_i}\) thì hàm số đạt cực trị tại điểm \({x_i}\)

Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3

Bước 1: Tìm f’(x)

Bước 2: Giải phương trình f’(x) = 0 tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}....\) 

Bước 3: Tính f’’(x). Với mỗi nghiệm \({x_i}\left( {i = 1,2,3} \right)\) ta xét:

+) Nếu \(f''\left( {{x_i}} \right) < 0\)  thì hàm số đạt cực đại tại điểm \({x_i}\)

+) Nếu \(f''\left( {{x_i}} \right) > 0\) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm \({x_i}\)

Lời giải chi tiết:

Thực hiện tìm cực trị theo quy tắc 2:

\(\begin{array}{l}y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1 \Rightarrow y' = {x^2} - 2x + 1;y' = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\Leftrightarrow x = 1;\\y'' = 2x - 2 \Rightarrow y''\left( 1 \right) = 0\end{array}\)

Vậy hàm số đã cho không có cực trị