Phương pháp giải:

- Chứng minh trung điểm \(I\) của \(SC\) là tâm hình cầu ngoại tiếp khối chóp.

- Tính bán kính \(R = IA = IB = IC = ID = IS\).

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm SC

Tam giác SAC vuông tại A, ta có: \(IA = IS = IC\)

\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\), mà \(AB \bot BC\)

\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại B, ta có : \(IB = IS = IC\)

Tương tự ta có: \(ID = IS = IC\)

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính bằng \(\dfrac{{SC}}{2}\)

Tam giác ABC vuông tại B, ta có : \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {9{{\rm{a}}^2} + 16{{\rm{a}}^2}}  = 5{\rm{a}}\)

Tam giác SAC vuông tại A, ta có : \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {144{{\rm{a}}^2} + 25{{\rm{a}}^2}}  = 13{\rm{a}}\)

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chóp là \(R = \dfrac{{13a}}{2}\)

Đáp án C