Phương pháp giải:

- Xác định chiều cao của hình chóp dựa vào định lý: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.

- Xác định góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt đáy bằng cách xác định góc giữa \(SB\) và hình chiếu của nó trên \(\left( {ABCD} \right)\).

- Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp \(S.AMN\) và \(S.ABC\) (\(M,N\) lần lượt thuộc \(SB,SC\))  là \(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}}\)

- Áp dụng phương pháp cộng, trừ thể tích để tính thể tích khối đa diện \(ABMNC\).

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)\)

\(\Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên \(\left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {SBA} = {60^0}\)

\(SA = AB\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)

\({V_{SABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}AB.BC.SA = \dfrac{1}{6}{a^3}\sqrt 3 \)

\(\dfrac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{SAMN}} = \dfrac{1}{4}{V_{SABC}} = \dfrac{1}{{24}}{a^3}\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow {V_{ABMNC}} = {V_{SABC}} - {V_{SAMN}} = \dfrac{1}{6}{a^3}\sqrt 3  - \dfrac{1}{{24}}{a^3}\sqrt 3  = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

Đáp án D