Phương pháp giải:

Tìm tọa độ các điểm cực trị của hàm số trùng phương sau đó dựa vào tính chất của tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm được tham số \(m\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \({y}'=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-{{m}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left( \begin{align}  & x=0 \\ & {{x}^{2}}={{m}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \\\end{align} \right..\)

Để hàm số có 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow \)\(m\ne 0.\) Khi đó, gọi \(A\left( 0;{{m}^{4}}+3 \right),\,\,B\left( m;3 \right),\,\,C\left( -\,m;3 \right)\) là ba điểm cực trị.

Vì \({{y}_{A}}>{{y}_{B}}={{y}_{C}}\) nên yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \) Tứ giác \(ABOC\) nội tiếp đường tròn \(\left( C \right).\)

Và \(\left\{ \begin{align}  & AB=AC \\ & OB=OC \\\end{align} \right.\) suy ra \(OA\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\)

\(\Rightarrow \,\,OA\) là đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\,\,\,\Rightarrow \,\,\)\(\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left(I  \right).\)

Mà \(\overrightarrow{AB}=\left( m;-\,{{m}^{4}} \right),\,\,\overrightarrow{OB}=\left( m;3 \right)\) suy ra \(\left( I  \right)\Leftrightarrow m.m-3{{m}^{4}}=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow m=\pm \,\frac{1}{\sqrt{3}}.\)

Chọn C