Phương pháp giải:

Phương pháp:

Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác đều.

B1: Xác định hai trục của hai mặt phẳng bất kì (đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).

B2: Xác định giao điểm I của hai trục đó. Khi đó I là tâm mặt cầu cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Gọi O và O’ lần lượt là tâm tam giác đều ABC và ACD thì \(DO\bot \left( ABC \right);BO'\bot \left( ACD \right)\)

Gọi \(I=DO\cap BO'\) , ta dễ dạng chứng minh được I là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều.

Và R = IF là bán kính mặt cầu đó. 

Kẻ BB’ qua I và song song với BD.

Ta có: OO’ // BD nên

 \(\frac{OO'}{BD}=\frac{FO}{FD}=\frac{1}{3}=\frac{O'I}{IB}\Rightarrow \frac{O'I}{O'B}=\frac{1}{4}=\frac{ID'}{BD}\Rightarrow ID'=\frac{1}{4}BD=\frac{a}{4}\)

\(\begin{align}  & \frac{O'D'}{O'D}=\frac{1}{4}\Rightarrow O'D'=\frac{1}{4}O'D \\  & \frac{FO'}{FD}=\frac{OO'}{BD}=\frac{1}{3}\Rightarrow FO'=\frac{1}{3}FD \\ \end{align}\)

  Ta có : \(\frac{O'D'}{FD}=\frac{O'D'}{\frac{3}{2}O'D}=\frac{\frac{1}{4}O'D}{\frac{3}{2}O'D}=\frac{1}{6}\Rightarrow O'D'=\frac{1}{6}FD\)

\(\Rightarrow FD'=FO'+O'D'=\frac{1}{3}FD+\frac{1}{6}FD=\frac{1}{2}FD=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\)

Xét tam giác vuông EID’ có \(FI=\sqrt{FD{{'}^{2}}-ID{{'}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{4}=R\)

Vậy \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi \frac{\sqrt{2}}{32}=\frac{\sqrt{2}\pi }{24}\)

Chọn A.