Phương pháp giải:

Đánh giá trực tiếp tính đơn điệu của các hàm số \(y={{a}^{x}}\,\,(a>0),\,\,y={{\log }_{a}}x\,\,(a>0,\,\,a\ne 1)\) theo số a đã có.

Tính đạo hàm, xét dấu y’ đối với hàm số  \({{\log }_{\frac{\pi }{4}}}(2{{x}^{2}}+1)\)

Lời giải chi tiết:

+) \(0<\frac{2}{e}<1\) =>  \(y={{\left( \frac{2}{e} \right)}^{x}}\): nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) : Chọn đáp án A

+) \(y={{\log }_{\frac{\pi }{4}}}(2{{x}^{2}}+1)\Rightarrow y'=\frac{4x}{(2{{x}^{2}}+1)\ln \frac{\pi }{4}}\)

   \(y'=0\Leftrightarrow x=0\)

Hàm số đồng biến trên \(\left( 0;+\infty  \right)\), nghịch biến trên \(\left( -\infty ;0 \right)\): Loại đáp án B.

+) \(0<\frac{1}{2}<1\) =>  \(y={{\log }_{\frac{1}{2}}}x\) : nghịch biến trên \(\left( 0;+\infty  \right)\) : Loại đáp án C

+) \(\frac{\pi }{3}>1\) =>  \(y={{\left( \frac{\pi }{3} \right)}^{x}}\): đồng biến trên \(\mathbb{R}\): Loại đáp án D.

Chọn A.