Câu hỏi
Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) trong khai triển nhị thức Niutơn \({\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n}\), biết tổng các hệ số trong khai triển trên bằng 4096. (n là số nguyên dương và \(x > 0\).
- A \(C_{12}^5\)
- B \(C_{12}^8\)
- C \(C_{12}^6\)
- D \(C_{12}^7\)
Lời giải chi tiết:
Theo nhị thức Niu tơn:
\({\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} .{\left( {{x^{ - 3}}} \right)^{n - k}}.{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)^k}\)
\( = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} .{x^{ - 3n + 3k}}.{x^{\frac{{5k}}{2}}}\)
\( = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} .{x^{ - 3n + \frac{{11k}}{2}}}\)
Có \({x^8}\) ứng với\( - 3n + \frac{{11k}}{2} = 8 \Leftrightarrow - 6n + 11k = 16\)
Mặt khác: Có \(\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} = 4096{\rm{ }}\left( * \right)\)
Vì nên có bảng:
Theo 4 phương án ta thấy: \(n = 12 \Rightarrow k = 8\) (thử lại vào (*) thấy thỏa mãn).
Chọn B.
Câu hỏi trước
