Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

-          Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và các trục tọa độ

-          Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\}\\x = 0 \Rightarrow y =  - 1\\ \Rightarrow B(0; - 1) \Rightarrow OB = | - 1| = 1\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\}\\y = 0 \Leftrightarrow (2m + 1)x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{2m + 1}}(m \ne \frac{{ - 1}}{2})\\ \Rightarrow A\left( {\frac{1}{{2m + 1}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\frac{1}{{2m + 1}}} \right|\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}.1.\left| {\frac{1}{{2m + 1}}} \right| = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow |2m + 1| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 1\end{array} \right.(tmdk)\end{array}\)

Chọn D.