Phương pháp giải:

Tổng B có 102 số hạng nên nhóm ba số hạng liền nhau , biến đổi để chứng minh dựa vào tính chất : \(a\vdots m\Rightarrow a.k\vdots m;k\in \mathbb{N}\)

Lời giải chi tiết:

\(B=5+{{5}^{3}}+{{5}^{5}}+...+{{5}^{201}}+{{5}^{203}}\) có 102 số hạng, có \(102\,\,\vdots \,\,3\) .

Ghép ba số hạng của dãy số thành 1 nhóm ta được \(102:3=34\) nhóm như sau:

\(\begin{array}{l}B = 5 + {5^3} + {5^5} + ... + {5^{201}} + {5^{203}}\\\,\,\,\,\, = \left( {5 + {5^3} + {5^5}} \right) + \left( {{5^7} + {5^9} + {5^{11}}} \right) + ... + \left( {{5^{199}} + {5^{201}} + {5^{203}}} \right)\\\,\,\,\,\, = 5.\left( {1 + {5^3} + {5^4}} \right) + {5^7}.\left( {1 + {5^3} + {5^4}} \right) + ... + {5^{199}}.\left( {1 + {5^3} + {5^4}} \right)\\\,\,\,\,\, = 5.651 + {5^7}.651 + ... + {5^{199}}.651\\\,\,\,\,\, = \left( {5 + {5^7} + ... + {5^{199}}} \right).651\\\,\,\,\,\, = \left( {5 + {5^7} + ... + {5^{199}}} \right).21.31\,\, \vdots \,\,31\end{array}\)

Vậy \(B=5+{{5}^{3}}+{{5}^{5}}+...+{{5}^{201}}+{{5}^{203}}\) chia hết cho 31.