Phương pháp giải:

Hạ \(SO\bot \left( ABCD \right).\) Tính \(SO,\) và áp dụng công thức \(V=\frac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}.\)

Lời giải chi tiết:

Hạ \(SO\bot \left( ABCD \right).\) Khi đó \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD.\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B,\) nên áp dụng định lý Py-ta-go ta có

 \(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}\Rightarrow AC=2a\Rightarrow AO=\frac{AC}{2}=a.\)

dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông \(\text{AOS}\)  ta có

 \(SO=\sqrt{A{{S}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{5} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=2a.\)

Thể tích càn tìm là \(V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.2a{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{{4{a^3}}}{3}\)

Chọn đáp án B.