Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả hàm số \(y=f\left( x \right)\)nghịch biến ( tương ứng đồng biến) trên tập \(D,\) khi \(y'=f'\left( x \right)\le 0,\,\,\forall x\in D\,\left( y'=f'\left( x \right)\ge 0,\,\,\forall x\in D\, \right)\,.\)

Lời giải chi tiết:

Với \(y=3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x\) thì \(y'=9{{x}^{2}}-2x+1=8{{x}^{2}}+{{\left( x-1 \right)}^{2}}>0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}.\) Do đó hàm số này đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Với \(y={{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-1\) thì \(y'=4{{x}^{3}}+8x=4x\left( {{x}^{2}}+2 \right)<0,\,\,\forall x<0.\) Do đó hàm số này không thể đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Một cách khác là ta có \(y\left( 1 \right)=y\left( -1 \right)=4\) nên hàm số không thể đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)(hàm số chẵn không phải là hằng số thì không thể nào đồng biến hoặc nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\))

Với \(y=\frac{x-1}{3x-2}\) thì tập xác định là \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{2}{3} \right\}.\)  Do đó hàm số này không thể đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Với \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\) thì \(y'=6{{x}^{2}}-6x=6x\left( x-1 \right)<0,\,\,\forall 0<x<1.\) Vì vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( -\infty ;0 \right)\) và \(\left( 1;+\infty  \right).\)  Do đó hàm số này không thể đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Chọn đáp án A.