Phương pháp giải:

Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đã cho đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a;b):

+ Tính y’, xét bất phương trình y’ ≥ 0 (hoặc y’ ≤ 0)

+ Cô lập m, đưa về dạng m ≥ g(x) hoặc m ≤ g(x)

+ Xét hàm số g(x) trên khoảng (a;b) và tìm điều kiện của m

Lời giải chi tiết:

Hàm số nghịch biến trên (0;1) \(\Leftrightarrow y'=3{{x}^{2}}-6mx-2\le 0\text{ }\left( 1 \right),\forall x\in \left( 0;1 \right)\)

Với x > 0, ta có \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\ge \frac{3{{x}^{2}}-2}{6x}=g\left( x \right)\)

Xét hàm số g(x) trên (0;1], ta có \(g'\left( x \right)=\frac{6x.6x-6\left( 3{{x}^{2}}-2 \right)}{36{{x}^{2}}}=\frac{18{{x}^{2}}+12}{36{{x}^{2}}}>0,\forall x\ne 0\)

Hàm số đồng biến trê (0;1], suy ra \(\underset{\left( 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=\frac{1}{6}\)

(1) đúng với mọi x ∈ (0;1) ⇔ \(m\ge \frac{1}{6}\)

Chọn đáp án D