Phương pháp giải:

Biến đổi số hạng tổng quát \({1 \over {k + 1}}C_{2017}^k = {1 \over {2018}}C_{2018}^{k + 1}\).

Lời giải chi tiết:

Xét số hạng tổng quát: \({1 \over {k + 1}}C_{2017}^k = {1 \over {k + 1}}{{2017!} \over {k!\left( {2017 - k} \right)!}} = {1 \over {2018}}.{{2018!} \over {\left( {k + 1} \right)!\left[ {2018 - \left( {k + 1} \right)} \right]!}} = {1 \over {2018}}C_{2018}^{k + 1}\)

Khi đó ta có:

\(\eqalign{  & S = C_{2017}^0 + {1 \over 2}C_{2017}^1 + {1 \over 3}C_{2017}^2 + ... + {1 \over {2018}}C_{2017}^{2017}  \cr   &  = \sum\limits_{k = 0}^{2017} {{{C_{2017}^k} \over {k + 1}}}  = \sum\limits_{k = 0}^{2017} {{1 \over {2018}}C_{2018}^{k + 1}}  = {1 \over {2018}}\left( {C_{2018}^1 + C_{2018}^2 + ... + C_{2018}^{2018}} \right)  \cr   &  = {1 \over {2018}}\left[ {{{\left( {1 + 1} \right)}^{2018}} - C_{2018}^0} \right] = {{{2^{2018}} - 1} \over {2018}} \cr} \)

Chọn B.