Câu hỏi

Cho đa giác đều A1A2...A2nA1A2...A2n nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A1,A2,...,AnA1,A2,...,An gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A1,A2,...,AnA1,A2,...,An. Vậy giá trị của n là:

  • A n = 10
  • B n = 12
  • C n = 8
  • D n = 14

Phương pháp giải:

Chọn bất kì 3 trong 2n đỉnh nối lại với nhau ta được 1 tam giác.

Đa giác nội nội tiếp đường tròn nên chọn bất kì 2 đường chéo đi qua tâm ta đươc 1 hình chữ nhật.

Sau đó dựa vào giả thiết lập phương trình và giải phương trình tìm n.

Lời giải chi tiết:

Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 2n điểm A1,A2,...,AnA1,A2,...,AnC32nC32n.

Ứng với 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều A1A2...A2nA1A2...A2n cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh và là 4 điểm trong 2n điểm A1,A2,...,AnA1,A2,...,An. Và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đó.

Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 2n đỉnh là n nên số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là C2nC2n.

Theo giả thiết ta có:

C32n=20C2n(2n)!3!(2n3)!=20n!2!(n2)!2n(2n1)(2n2)6=10n(n1)4n36n2+2n=30n230n4n336n2+32n=0[n=8(tm)n=1(ktm)

(Khi n = 1 thì t có đa giác đều 2 đỉnh, vô lý).

Vậy n = 8.

Chọn C.


Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay