Phương pháp giải:

Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm. Tọa độ giao điểm nguyên khi hoành độ và tung độ đều nhận giá trị nguyên.

Lời giải chi tiết:

Để \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau thì \({m \over 2} \ne {2 \over m} \Leftrightarrow {m^2} \ne 4 \Leftrightarrow m \ne  \pm 2\).

Gọi \(A = {d_1} \cap {d_2}.\) Khi đó hoành độ của A là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{  mx + 2y = m + 1 \hfill \cr   2x + my = 2m - 1 \hfill \cr}  \right..\)

Khi m = 0 ta có:  \(\left\{ \matrix{  2y = 1 \hfill \cr   2x =  - 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x =  - {1 \over 2} \hfill \cr   y = {1 \over 2} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow A\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\) không thỏa mãn tọa độ của A nhận giá trị nguyên.

Khi \(m \ne 0\) ta có:

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  mx + 2y = m + 1 \hfill \cr   2x + my = 2m - 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {m^2}x + 2my = {m^2} + m \hfill \cr   4x + 2my = 4m - 2 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 4} \right)x = {m^2} - 3m + 2  \cr   &  \Leftrightarrow x = {{{m^2} - 3m + 2} \over {{m^2} - 4}} = {{\left( {m - 2} \right)\left( {m - 1} \right)} \over {\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = {{m - 1} \over {m + 2}}\,\,\left( {m \ne  \pm 2} \right)  \cr   &  \Rightarrow 2y = m + 1 - {{m\left( {m - 1} \right)} \over {m + 2}} = {{{m^2} + 3m + 2 - {m^2} + m} \over {m + 2}} = {{4m + 2} \over {m + 2}} \Rightarrow y = {{2m + 1} \over {m + 2}}.  \cr   &  \Rightarrow A\left( {{{m - 1} \over {m + 2}};{{2m + 1} \over {m + 2}}} \right) = \left( {1 - {3 \over {m + 2}};2 - {3 \over {m + 2}}} \right) \cr} \)

Ta có

Suy ra để A nhận tọa độ nguyên thì m+2 phải là ước của 3.

\( \Rightarrow \left( {m + 2} \right) \in U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\)

Lập bảng giá trị:

Từ đây tim được 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.