Phương pháp giải:

Phương pháp:

+ Tìm điều kiện để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\left( {y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}} \right)\)

+ Dựa vào điều kiện đó để tìm GTNN của \(P\)

Lời giải chi tiết:

Cách giải

Có \(y' = 3{\left( {x + m} \right)^2} + 3{\left( {x + n} \right)^2} - 3{x^2} = 3\left[ {{x^2} + 2\left( {m + n} \right)x + {m^2} + {n^2}} \right]\)

Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m + n} \right)x + {m^2} + {n^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + n} \right)^2} - \left( {{m^2} + {n^2}} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} \ge {\left( {m + n} \right)^2}\end{array}\)

Khi đó ta có \(P \geqslant 4{\left( {m + n} \right)^2} - \left( {m + n} \right) = {\left( {2m + 2n - \dfrac{1}{4}} \right)^2} - \dfrac{1}{{16}} \geqslant  - \dfrac{1}{{16}}\)

Chọn đáp án A

Kiểm tra thấy dấu “=” xảy ra

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + {n^2} = {\left( {m + n} \right)^2}\\m + n = \dfrac{1}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + n = \dfrac{1}{8}\\mn = 0\end{array} \right.\)

 (tồn tại \(m,n\) thỏa mãn)