Phương pháp giải:

Phương pháp. Sử dụng điều kiện cần và đủ cho cực trị hàm số để tìm điểm cực tiểu của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Tập xác định \(x\in \mathbb{R}.\)

Ta có \(y'=1+2\cos 2x\Rightarrow y'\left( {{x}_{0}} \right)=0\Leftrightarrow 1+2\cos 2{{x}_{0}}=0\Leftrightarrow \cos 2{{x}_{0}}=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \,\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)Ta tính được \(y''=-4\sin 2x.\)

Do đó:Với \({{x}_{0}}=\frac{\pi }{3}+k\pi \) thì \(y''\left( {{x}_{0}} \right)=-4\sin \left[ 2\left( \frac{\pi }{3}+k\pi \right) \right]=-4\sin \frac{2\pi }{3}<0\)

vì vậy \({{x}_{0}}=\frac{\pi }{3}+k\pi \,\left( k\in Z \right)\) là điểm cực đại của hàm đã cho.

Với \({{x}_{0}}=-\frac{\pi }{3}+k\pi \) thì \(y''\left( {{x}_{0}} \right)=-4\sin \left[ 2\left( -\frac{\pi }{3}+k\pi \right) \right]=-4\sin \left( -\frac{2\pi }{3} \right)>0\)

vì vậy \({{x}_{0}}=-\frac{\pi }{3}+k\pi \,\left( k\in Z \right)\)là điểm cực tiểu của hàm đã cho.

Chọn đáp án A.