Phương pháp giải:

Chứng minh \(SA\) là đường cao của \(S.BCD.\) Tìm diện tích \({{S}_{BCD.}}\) Sau đó áp dụng công thức thể tích để tính thể tích \({{V}_{S.BCD}}.\)

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết \(SA\) vuông góc với \(\left( ABCD \right)\) nên \(SA\) vuông góc với \(\left( BCD \right).\) Do đó \(SA\) là đường cao của \(S.BCD.\)

Do đó \({V_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SA.{S_{BCD}}=\frac{{a\sqrt 3 }}{3}{S_{BCD}}\left( 1 \right)\)

Ta lại có \({{S}_{BCD}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{ABD}}\,\,\left( 2 \right).\)

Mặt khác \({{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}AB\left( AD+BC \right)=\frac{a}{2}\left( 3a+a \right)=2{{a}^{2}}\,\left( 3 \right),\)

và \({{S}_{ABD}}=\frac{1}{2}AB.AD=\frac{3{{a}^{2}}}{2}\,\left( 4 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)\) ta nhận được \({{V}_{S.BCD}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\left( 2{{a}^{2}}-\frac{3{{a}^{2}}}{2} \right)=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}.\)

Chọn đáp án B.